Электрическая цепь RL

Индуктивность, непрерывность тока и первый точный тест численной модели.

Эквивалентная схема обмотки

Первое приближение для обмотки — последовательно соединённые сопротивление R и индуктивность L. Сопротивление описывает потери в проводнике, индуктивность — способность накапливать энергию магнитного поля. Пока ротор неподвижен, противо-ЭДС вращения равна нулю, и такая цепь позволяет отдельно исследовать электрический переход.

По второму закону Кирхгофа приложенное напряжение распределяется между сопротивлением и индуктивностью:

Падение Ri зависит от величины тока, а L di/dt — от темпа его изменения. Сразу после подключения постоянного напряжения к обесточенной обмотке i(0) = 0, поэтому весь входной сигнал приходится на индуктивность. Затем ток увеличивается, падение на сопротивлении растёт, а производная тока уменьшается.

Точное решение при включении

При постоянном U и начальном токе i₀ решение имеет вид:

Возьмём U = 12 В, R = 2 Ом и L = 0,02 Гн. Электрическая постоянная времени равна 0,01 с, установившийся ток — 6 А, а начальная скорость роста тока — 600 А/с. Через 10 мс ток достигнет примерно 3,79 А. Через 50 мс он будет близок к 5,96 А.

Индуктивность влияет на длительность перехода, но при постоянном напряжении не меняет конечный ток. Сопротивление влияет и на постоянную времени, и на конечный ток. Поэтому фраза «увеличение параметра замедляет процесс» без указания, какой параметр изменён и что фиксировано, недостаточна.

Спад тока и путь замыкания

Если заменить источник идеальным коротким замыканием, цепь R–L остаётся замкнутой, а напряжение источника становится нулевым. Ток спадает по закону i(t) = i₀ exp(−t/τe). Запас магнитной энергии переходит в тепло на сопротивлении.

Это отличается от идеального разрыва цепи. При размыкании нужно учитывать путь тока через диод, дугу, ёмкость или защитную цепь. Нельзя одновременно требовать мгновенного обнуления тока индуктивности и конечного напряжения. Базовая модель спада ниже предполагает именно замкнутый контур.

Проверка по энергии

Умножим уравнение цепи на ток:

Входная электрическая мощность делится между потерями и изменением запаса энергии. При u = 0 производная энергии отрицательна и равна −Ri². Для начального тока 6 А запас энергии составляет 0,36 Дж. Интеграл потерь на достаточно длинном интервале должен приближаться к этому значению.

Энергетический баланс полезен как независимая проверка: ошибка знака перед R может превратить затухающую цепь в самовозбуждающуюся, хотя красивый график сам по себе этого не объяснит.

Численный эксперимент

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
R, L, U = 2.0, 0.02, 12.0
t = np.linspace(0, 0.08, 801)
sol = solve_ivp(lambda t, y: [(U-R*y[0])/L],
                (t[0], t[-1]), [0.0], t_eval=t,
                rtol=1e-8, atol=1e-10)
assert sol.success, sol.message
exact = U/R * (1-np.exp(-R*t/L))
print(np.max(np.abs(sol.y[0]-exact)))

Мы сравниваем значения в одних и тех же точках времени. Разность имеет размерность ампер. Если уменьшение допусков не уменьшает ошибку, проверьте формулу эталона, параметры и соответствие начальных условий.

Практическая работа

Увеличьте L вдвое, сохранив U и R. Сравните ток через 10 мс и через 100 мс. Затем увеличьте R вдвое при исходной L. Найдите новую постоянную времени и новый предел тока. Для второго случая это 5 мс и 3 А.

Схема, направления и алгоритм расчёта

Выбираем ток по часовой стрелке, а падения u_R и u_L — по направлению тока. Тогда U = Ri + L di/dt. При изменении полярности источника меняется знак U, но не выбранное направление отсчёта i. Отрицательное решение означает фактический ток против стрелки.

После переключения сначала находят i₀ по старой схеме. Затем вычисляют i_∞ по новой схеме, заменив идеальную индуктивность коротким замыканием в установившемся режиме постоянного тока. Сопротивление, видимое со стороны катушки при подавленных независимых источниках, определяет τ = L/R_экв. Источник напряжения при этом закорачивают, источник тока размыкают; зависимые источники сохраняют.

Разобранная задача: два последовательных интервала

При R = 2 Ом и L = 0,02 Гн к обесточенной цепи приложено 12 В. Через t₁ = 0,03 с источник заменяют коротким замыканием, сохраняя замкнутую RL-цепь. На первом интервале τ = 0,01 с:

Перед коммутацией di/dt = 29,87 А/с, сразу после неё −570,13 А/с. Ток непрерывен, а напряжение катушки меняется с +0,597 до −11,403 В. В идеальной RL-модели резистор рассеивает всю оставшуюся магнитную энергию: Li₁²/2 ≈ 0,325 Дж.

Если катушку просто разомкнуть без пути тока, такая модель перестаёт описывать коммутацию. Реальная энергия переходит в паразитную ёмкость, дугу или защитный элемент. Схему разряда нужно задавать явно.

Интегральная проверка энергии

Умножим уравнение цепи на ток и проинтегрируем. При неизменной L получаем равенство энергий на произвольном интервале T:

Для включения из нуля обозначим I = U/R. Энергия источника E_in = UI[T − τ(1 − e^−T/τ)]. Потери E_R = RI²[T − 2τ(1 − e^−T/τ) + (τ/2)(1 − e^−2T/τ)]. Их разность должна совпасть с LI²(1 − e^−T/τ)²/2. Такая проверка обнаруживает ошибку единиц и пропущенный начальный запас энергии.

Связь с RC- и RLC-переходами

Для последовательной RC-цепи состояние — напряжение конденсатора: RC du_C/dt + u_C = U, τ = RC. Ток резистора может измениться скачком, напряжение конденсатора при конечном токе — нет. Для последовательной RLC-цепи два независимых состояния дают второй порядок:

При R < 2√(L/C) свободный процесс колебательный; при равенстве — критический; при большем сопротивлении — апериодический. Индуктивность и ёмкость обмениваются энергией, а сопротивление рассеивает её. Начальная производная напряжения определяется током: u_C′(0⁺) = i(0⁺)/C.

Задачи для самостоятельного решения

1. Для RL-цепи R = 4 Ом, L = 0,08 Гн, U = 20 В и i₀ = 1 А найдите ток через 20 мс и начальный наклон.

2. Для L = 0,1 Гн и C = 100 мкФ определите критическое R. Каков характер процесса при R = 20 Ом?

Для отчёта: нарисуйте схемы до и после коммутации, укажите направления напряжений и проверьте непрерывность состояния.

Что запомнить

Ток определяется не только сопротивлением, но и запасом магнитной энергии. Указывайте схему после переключения. Аналитическое решение RL-цепи — обязательный простой эталон перед исследованием более сложного двигателя.